Question

若函數(shù)f(x)=log

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(1-x2)，
（1）求定義域；
（2）求值域；
（3）求單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0建立不等式，可求出函數(shù)的定義域；
（2）根據(jù)真數(shù)的取值范圍，以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求出該函數(shù)的值域；
（3）將原函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)y=log₂g（x）、g（x）=1-x²，因為y=log₂g（x）單調(diào)遞增，所以要求原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即要求g（x）=1-x²的增區(qū)間（根據(jù)同增異減的性質(zhì)），再由定義域即可得到答案．

解答：解：（1）∵f(x)=log

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(1-x2)，
∴1-x²＞0，
解得：-1＜x＜1，
∴定義域為{x|-1＜x＜1}；
（2）∵1≥1-x²＞0，
∴f(x)=log

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(1-x2)≤0，
則函數(shù)f（x）的值域為{y|y≤0}；
（3）∵

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＞1，
∴函數(shù)y=log 

2

（1-x²）的單調(diào)遞增區(qū)間就是g（x）=1-x²的單調(diào)遞增區(qū)間．
對于y=g（x）=1-x²，開口向下，對稱軸為x=0，
∴g（x）=1-x²的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0）．
∵-1＜x＜1，
∴函數(shù)y=log₂（1-x²）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，0）．

點評：本題主要考查復(fù)合函數(shù)定義域和值域，以及單調(diào)性的問題，求復(fù)合函數(shù)單調(diào)性時注意同增異減的性質(zhì)即可，屬于中檔題．