Question

如圖所示，已知橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，A為橢圓的左頂點(diǎn)，B，C在橢圓上，若四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB=45°，則橢圓的離心率等于（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  3

  3

• C、

  6

  3

• D、

  2 2

  3

Answer 1

分析：由圖形知|BC|=a，且BC∥OA由橢圓的對(duì)稱性知，B，C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，由此可以求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再連接OC，有∠OAB=45°及平行的性質(zhì)，橢圓的對(duì)稱性，令橢圓的右端點(diǎn)為M，則有∠COM=∠CMO=∠OAB=45°由此可得CO垂直于MC，由此垂直關(guān)系建立方程即可求得離心率的值．

解答：解：令橢圓的右端點(diǎn)為M，連接CM，由題意四邊形OABC為平行四邊形，且∠OAB=45°，B，C在橢圓上，可得∠COM=∠CMO=∠OAB=45°，則有∠OCM=90°，故可得k_OC×k_CM=-1
又四邊形OABC為平行四邊形，B，C在橢圓上，由圖形知|BC|=a，且BC∥OA由橢圓的對(duì)稱性知，B，C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故C的橫坐標(biāo)為

a

2

，代入橢圓的方程得

( a 2 )2

a2

+

y2

b2

=1，解得y=±

3

2

b，
由圖形知C（

a

2

，

3

2

b），故有kOC=

3 b 2

a 2

，kCM=

3 b 2

- a 2

，所以有

3 b 2

a 2

×

3 b 2

- a 2

=-1解得a²=3b²，故可得c²=2b²，所以e²=

2

3

，得e=

6

3

故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的對(duì)稱性得出點(diǎn)C的坐標(biāo)以及圖形中的垂直關(guān)系，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)是為了表示出斜率，求出垂直關(guān)系是為了利用斜率的乘積為-1建立方程，然后再根據(jù)求離心率的公式求出離心率即可．本題比較抽象，方法單一，入手較難，運(yùn)算量不大．