Question

【題目】設(shè)區(qū)間，定義在上的函數(shù)（），集合．

（1）若，求集合；

（2）設(shè)常數(shù)．

① 討論的單調(diào)性；

② 若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析；②見證明

【解析】

（1）把b代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，由f′（x）0，可知f（x）在[﹣3，3]上為增函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，由最小值大于0求得a的取值范圍；

（2）①求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，解得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后根據(jù)與3的關(guān)系分類求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

②當(dāng)b＜﹣1時(shí)，由①可知，當(dāng)0＜a時(shí)，求得函數(shù)的最小值小于0，得到矛盾，故此時(shí)實(shí)數(shù)a不存在；當(dāng)a時(shí)，由①可得f（x）min＝{f（﹣3），f（）}，得到f（﹣3）＜0，這與x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時(shí)實(shí)數(shù)a不存在；若f（﹣3）＞0，證明f（）＜0，這與x∈D，f（x）≥0恒成立矛盾，故此時(shí)實(shí)數(shù)a不存在．

（1）當(dāng)時(shí)，，則．

由可知恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，

所以，解得，

所以集合

（2）① 由得，

因?yàn)?/span>，則由，得．

在上列表如下：

	＋	0	－	0	＋
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

（�。┊�(dāng)，即時(shí)，

則，所以在上單調(diào)遞減；

（ⅱ）當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)，

在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．

綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；

在上單調(diào)遞減

②（方法一）當(dāng)時(shí)，由①可知，

（�。┊�(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，

所以，

這與恒成立矛盾，故此時(shí)實(shí)數(shù)不存在；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增；

在上單調(diào)遞減，

所以．

若，這與恒成立矛盾，

故此時(shí)實(shí)數(shù)不存在；

若，此時(shí)，

又，則，

．

下面證明，也即證：．

因?yàn)?/span>，且，則，

下證：．

令，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以，即．

這與恒成立矛盾，故此時(shí)實(shí)數(shù)不存在．

綜上所述，．

（方法二）（�。┊�(dāng)時(shí)，成立；

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由題意可知恒成立，則，

設(shè)，則，

令，解得．

因?yàn)?/span>，所以，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

所以，所以；

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，由題意可知恒成立，則．

設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，

所以，

所以．

若，則存在實(shí)數(shù)滿足，

則成立，即，

也即成立，

則，這與矛盾，所以．