Question

給出下列四個命題：
①函數(shù)y=

1

2

ln

1-cosx

2

與y=lnsin

x

2

是同一函數(shù)；
②若偶函數(shù)f（x）對定義域內(nèi)任意x都有f（x）=f（2-x），則f（x）為周期函數(shù)；
③函數(shù)f(x)=2+x3sin(x+

π

2

)在區(qū)間，[-a，a]（a＞0）上的最大值與最小值的和為4；
④已知f（x）為定義在（-∞，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且f（x）＜f′（x）對于x∈R恒成立，則f（2）＞e²•f（0）．
其中真命題的所有序號是

 

．

Answer 1

分析：利用某些函數(shù)的性質(zhì)和轉(zhuǎn)化關(guān)系是判斷各個命題真假的關(guān)鍵，利用好對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)、抽象函數(shù)奇偶性、對稱性與周期性的關(guān)系、奇偶性與單調(diào)性在求函數(shù)最值中的應(yīng)用、導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系等．

解答：解：由于y=

1

2

ln

1-cosx

2

=ln

1-cosx 2

=ln|sin

x

2

|，
故函數(shù)y=

1

2

ln

1-cosx

2

與y=lnsin

x

2

不是同一函數(shù)，故①錯誤；

f（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=f（x），又f（x）=f（2-x），從而f（-x）=f（2-x），
即f（x）=f（2+x），因此f（x）為周期函數(shù)，故②正確；

函數(shù)f(x)=2+x3sin(x+

π

2

)=2+x3cosx，設(shè)g（x）=x³cosx，x∈[-a，a]為奇函數(shù)，設(shè)g（x）在[-a，a]上的最大值為M，則g（x）在[-a，a]上的最小值為-M，于是f（x）在[-a，a]上的最大值為2+M，則g（x）在[-a，a]上的最小值為2-M，因此f（x）在[-a，a]上的最大值與最小值的和為4；故③正確；

考慮g(x)=

f(x)

ex

，則g′(x)=

f′(x)ex-f(x)ex

e2x

=

f′(x)-f(x)

ex

，由于f（x）＜f′（x），故g′（x）＞0（x∈R），故g（x）在x∈R上單調(diào)遞增，得到g（2）＞g（0），即f（2）＞e²•f（0），故④正確．
故答案為：②③④．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，關(guān)鍵要熟悉相關(guān)的知識進行轉(zhuǎn)化與求解，考查學(xué)生的等價轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)解決問題．屬于中檔題．