Question

已知函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的最大值為α，令A(yù)=

cosα

sinα+sin3α

，B=

1+α2

4α

．則（　�。�

A．A＞B

B．A＜B

C．A=B

D．A與B的大小不確定

Answer 1

分析：作出函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象，利用函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，確定切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用三角函數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答：解：作出函數(shù)f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）的圖象，如圖所示，要使兩個(gè)函數(shù)有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，
則由圖象可知，直線在（π，

3π

2

）內(nèi)與f（x）相切．
設(shè)切點(diǎn)為A（α，-sinα），
當(dāng)x∈（π，

3π

2

）時(shí)，f（x）=|sinx|=-sinx，
此時(shí)f'（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

）．
∴-cosα=-

sinα

α

，即α=tanα，
∴

cosα

sinα+sin3α

=

cosα

4sinαcos2α

=

1

4sinαcosα

=

cos2α+sin2α

4sinαcosα

=

1+tan2α

4tanα

=

1+α2

4α

．
即A=B．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．