Question

（2012•唐山二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中點．
（I）求證：平面EAC⊥平面PBC；
（ II）若PC=

2

，求三棱錐C-ABE高的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得AC⊥PC，由AC²+BC²=AB²，可求得AC⊥BC，從而有AC⊥平面PBC，利用面面垂直的判定定理即可證得平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）由PC=

2

，知△PBC為等腰直角三角形，又AC為三棱錐A-BCE高，設(shè)三棱錐C-ABE的高為h，由S_△ABE•h=S_△BCE•AC即可求得h．

解答：解：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，
∴AC=BC=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，
∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．…（5分）
（Ⅱ）由PC=

2

，知△PBC為等腰直角三角形，則S_△BCE=

1

2

S_△PBC=

1

2

，
由（Ⅰ）知，AC為三棱錐A-BCE高．…（7分）
∵Rt△PCA≌Rt△PCB≌Rt△ACB，PA=PB=AB=2，
∴S_△ABE=

1

2

S_△PAB=

3

2

，
設(shè)三棱錐C-ABE的高為h，
則

1

3

S_△ABE•h=

1

3

S_△BCE•AC，即

1

3

×

3

2

h=

1

3

×

1

2

×

2

，
∴h=

6

3

，
∴三棱錐C-ABE的高等于

6

3

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查點、線、面間的距離計算，突出幾何體體積輪換公式的考查與應(yīng)用，屬于中檔題．