Question

如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，過A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E，G分別是棱SA，SC的中點(diǎn)．求證：
（1）平面EFG∥平面ABC；
（2）BC⊥SA．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰三角形的“三線合一”，證出F為SB的中點(diǎn)．從而得到△SAB和△SAC中，EF∥AB且EG∥AC，利用線面平行的判定定理，證出EF∥平面ABC且EG∥平面ABC．因?yàn)镋F、EG是平面EFG內(nèi)的相交直線，所以平面EFG∥平面ABC；
（2）由面面垂直的性質(zhì)定理證出AF⊥平面SBC，從而得到AF⊥BC．結(jié)合AF、AB是平面SAB內(nèi)的相交直線且AB⊥BC，可得BC⊥平面SAB，從而證出BC⊥SA．
解答：解：（1）∵△ASB中，SA=AB且AF⊥SB，∴F為SB的中點(diǎn)．
∵E、G分別為SA、SC的中點(diǎn)，
∴EF、EG分別是△SAB、△SAC的中位線，可得EF∥AB且EG∥AC．
∵EF?平面ABC，AB?平面ABC，
∴EF∥平面ABC，同理可得EG∥平面ABC
又∵EF、EG是平面EFG內(nèi)的相交直線，
∴平面EFG∥平面ABC；
（2）∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC=SB，
AF?平面ASB，AF⊥SB．
∴AF⊥平面SBC．
又∵BC?平面SBC，∴AF⊥BC．
∵AB⊥BC，AF∩AB=A，∴BC⊥平面SAB．
又∵SA?平面SAB，∴BC⊥SA．
點(diǎn)評(píng)：本題在三棱錐中證明面面平行和線線垂直，著重考查了直線與平面平行、平面與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定與性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．