Question

選修4-1：幾何證明選講
如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點E，D，連接EC，CD．
（I）試判斷直線AB與⊙O的位置關系，并加以證明；
（Ⅱ）若tanE=

1

2

，⊙O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

分析：（I）連接OC，由已知的OA與OB相等，CA與CB相等，OC為公共邊，得到三角形AOC與三角形BOC全等，進而得到∠OAC與∠OCB相等，都為90°，即OC與AB垂直，故AB與圓O相切；
（II） 在直角三角形ACD中，根據(jù)直徑所對的圓周角等于90°，得到三角形ECD為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)定義表示出tanE，即可得到CD與EC的比值，根據(jù)∠B為公共角，圓的弦切角等于所夾弧所對的圓周角，得到一對角相等，根據(jù)兩對角相等的兩三角形相似，由相似得出比例式，且相似比等于所求的比，設出BD=x，BC=2x，又根據(jù)相似得比例表示出BC的平方，把設出的BD和BC代入即可列出關于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為BD的長，由OA=OB=OD+DB即可求出OA的長．

解答：
解：（I）證明：如圖，連接OC．
∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，
∴△AOC≌△BOC，
∴∠OCA=∠OCB=90°，
∴OC⊥AB．
∴AB是圓O的切線；（3分）
（II）由ED為圓O的直徑，得到∠ECD=90°，
在直角三角形中，
根據(jù)三角函數(shù)定義得：tanE=

CD

EC

=

1

2

．
∵∠B=∠B，∠BCD=∠E，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BD

BC

=

CD

EC

=

1

2

．
設BD=x，則BC=2x．（6分）又BC²=BD•BE，
∴（2x）²=x（x+6）．（8分）
解得x₁=0，x₂=2．
由BD=x＞0，∴BD=2．
∴OA=OB=BD+OD=2+3=5．（12分）

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及相似三角形的判定與性質．其中證明切線的方法有兩種：1、有點連接此點與圓心，證明夾角為直角；2、無點作垂線，證明垂線段等于圓的半徑．要求學生掌握圓的一些性質，利用方程的思想解決數(shù)學問題．