Question

已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是

π

2

，若將f（x）的圖象先向右平移

π

6

個單位，所得函數g（x）為奇函數．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調區(qū)間．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）先求出ω=2，由所得函數g（x）為奇函數，可求得φ的值，從而確定f（x）的解析式；
（2）令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得x的范圍，從而求得f（x）的單調減區(qū)間；令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），從而求得f（x）的單調增區(qū)間．

解答： 解：（1）由題意函數f（x）的圖象兩相鄰對稱軸之間的距離是

π

2

，可得函數的周期為π，即

2π

ω

=π，ω=2，故函數為f（x）=sin（2x+φ）．
將函數f（x）圖象向右平移

π

6

個單位，得到函數g（x）的解析式為 g（x）=sin[2（x-

π

6

）+φ]=sin（2x-

π

3

+φ），
∵函數g（x）為奇函數．
∴-

π

3

+φ=kπ，φ=kπ+

π

3

，k∈Z．
不妨令k=0，則φ取值為

π

3

．
故有f（x）=sin（ωx+φ）=sin（2x+

π

3

）．
（2）因為函數y=sin（2x+

π

3

），
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ   k∈Z，即kπ-

5π

12

≤x≤

π

12

+kπ（k∈Z），所以函數的單調增區(qū)間為：[kπ-

5π

12

，

π

12

+kπ]，k∈Z．
令2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈z，可求得函數的減區(qū)間為：[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，k∈Z．

點評：本題主要考查了正弦函數的圖象和單調性，考察了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，屬于基礎題．