在直角坐標平面中,已知點P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23),…,Pn(n,2n),其中n是正整數(shù).對平面上任一點A0,記A1為A0關(guān)于點P1的對稱點,A2為A1關(guān)于點P2的對稱點,…,An為An-1關(guān)于點Pn的對稱點.
(1)求向量
A0A2
的坐標;
(2)當點A0在曲線C上移動時,點A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象,其中f(x)是以3位周期的周期函數(shù),且當x∈(0,3]時,f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4]上的解析式;
(3)對任意偶數(shù)n,用n表示向量
A0An
的坐標.
分析:(1)利用中點坐標公式求出點A1,A2的坐標,再利用向量的坐標公式求出
A0A2
的坐標.
(2)由已知判斷出y=f(x)的圖象是由C按
A0A2
平移得到的;得到C是由f(x)左移兩個單位,下移4個單位得到,利用圖象變換求出C的解析式.
(3)利用向量的運算法則將
A0An
有以Pn為起點終點的向量表示,利用向量的坐標公式求出各向量的坐標,利用等比數(shù)列的前n項和公式求出向量的坐標.
解答:解:(1)設(shè)點A0(x,y),A1為A0關(guān)于點P1的對稱點,A1的坐標為(2-x,4-y),
A1為P2關(guān)于點的對稱點A2的坐標為(2+x,4+y),
A0A2
={2,4}.
(2)∵
A0A2
={2,4},
∴f(x)的圖象由曲線C向右平移2個單位,再向上平移4個單位得到.
因此,設(shè)曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖象,
其中g(shù)(x)是以3為周期的周期函數(shù),
且當x∈(-2,1]時,g(x)=lg(x+2)-4.
于是,當x∈(1,4]時,g(x)=lg(x-1)-4.
(3)
A0An
=
A0A2
+
A2A4
+…+
An-2An

由于
A2k-2A2k
=2
P2k-1P2k
,得
A0An
=2(
P1P2
+
P3P4
+…+
Pn-1Pn

=2({1,2}+{1,23}+…+{1,2n-1})=2{
n
2
,
2(2n-1)
3
}={n,
4(2n-1)
3
}
點評:本題考查中點坐標公式、向量的坐標公式、圖象的平移變換、等比數(shù)列的前n項和公式.
練習(xí)冊系列答案
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在直角坐標平面中,已知點P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23),…,Pn(n,2n),其中n是正整數(shù),對平面上任一點A0,記A1為A0關(guān)于點P1的對稱點,A2為A1關(guān)于點P2的對稱點,…,An為An-1關(guān)于點Pn的對稱點.
(1)求向量
A0A2
的坐標;
(2)當點A0在曲線C上移動時,點A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象,其中f(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當x∈(0,3]時,f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4]上的解析式.

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在直角坐標平面中,已知點P(0,1),Q(2,3),對平面上任意一點B0,記B1為B0關(guān)于P的對稱點,B2為B1關(guān)于Q的對稱點,B3為B2關(guān)于P的對稱點,B4為B3關(guān)于Q的對稱點,…,Bi為Bi-1關(guān)于P的對稱點,Bi+1為Bi關(guān)于Q的對稱點,Bi+2為Bi+1關(guān)于P的對稱點(i≥1,i∈N)….則
B0B10
=
(20,20)
(20,20)

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在直角坐標平面中,已知點P1(1,2),P2(2,22),P3(3,23),…,Pn(n,2n),其中n是正整數(shù),對平面上任一點A,記A1為A關(guān)于點P1的對稱點,A2為A1關(guān)于點P2的對稱點,…,An為An-1關(guān)于點Pn的對稱點.
(1)求向量的坐標;
(2)當點A在曲線C上移動時,點A2的軌跡是函數(shù)y=f(x)的圖象,其中f(x)是以3為周期的周期函數(shù),且當x∈(0,3]時,f(x)=lgx.求以曲線C為圖象的函數(shù)在(1,4]上的解析式.

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