Question

在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中，a1=1，b1=2，bn＞0（n∈N*），且b1，a2，b2成等差數(shù)列，a2，b2，a3+2成等比數(shù)列，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn．

（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若Sn+an＞m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，求常數(shù)m的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）an=3n﹣2，bn=2•3n﹣1；（Ⅱ）{m|m<3}

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q（q＞0）,由已知得,解得d=q=3,所以an=3n﹣2，bn=2•3n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,從而,則3n+3n﹣3＞m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立,構(gòu)造函數(shù)f（n）=3n+3n﹣3,則

f（n+1）﹣f（n）=2•3n﹣3＞0即f（n）單調(diào)遞增，所以m＜f（1）=3,答案為{m|m<3}.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q（q＞0）．

由題意，得，解得d=q=3．

∴an=3n﹣2，bn=2•3n﹣1；

（Ⅱ）∵Sn+an＞m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，

∴3n+3n﹣3＞m對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立，

令f（n）=3n+3n﹣3，則f（n+1）﹣f（n）=2•3n﹣3＞0，

∴f（n）單調(diào)遞增，

∴m＜f（1）=3．

∴常數(shù)m的取值范圍{m|m<3}

考點(diǎn)：1.等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式;2.等比數(shù)列的求和公式;3.與正整數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問(wèn)題