Question

【題目】已知函數(shù)（且a為常數(shù)）和（且k為常數(shù)），有以下命題:①當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，若恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則；③對(duì)任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得有4個(gè)不同的零點(diǎn)，且成等比數(shù)列.其中的真命題是_____（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

【答案】②

【解析】

①根據(jù)題意，將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，轉(zhuǎn)換為對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，分別判斷，兩種情況下，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)情況，即可判斷出結(jié)果；

②根據(jù)題意，先令，畫(huà)出函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及函數(shù)圖像，判斷方程根的分布情況，以及方程根的個(gè)數(shù)情況，即可判斷出結(jié)果；

③根據(jù)題意，只需判斷出時(shí)，函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)不一定是個(gè)，即可得出結(jié)果.

①因?yàn)?/span>，，由得，函數(shù)的零點(diǎn)，即是函數(shù)圖像與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

當(dāng)時(shí)，恒成立，因?yàn)?/span>，所以時(shí)，函數(shù)顯然沒(méi)有零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由得，即，即，

因?yàn)?/span>，所以恒成立，若時(shí)，函數(shù)可能有零點(diǎn)；若，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；故①錯(cuò)；

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>恰有個(gè)不同零點(diǎn)，令，則關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，記作，不妨令；

做出函數(shù)的圖像如下：

由圖像可得：當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，與有個(gè)交點(diǎn)；

因?yàn)楹瘮?shù)恰有個(gè)不同零點(diǎn)，

則有個(gè)根，記作；有個(gè)根，記作（不妨令）；

所以只需，，因此，，

所以；，，因此；故②正確；

③由，得；

所以函數(shù)與圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

由②中圖像可知：當(dāng)時(shí)，與在上有個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上有個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，若，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)與在上最多只有個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上最多只有個(gè)零點(diǎn)；不滿足存在實(shí)數(shù)，使得有4個(gè)不同的零點(diǎn)；

若，由基本不等式可得：，即時(shí)，；

若，則函數(shù)與在上最多只有個(gè)交點(diǎn)，也不滿足對(duì)任意的，總存在實(shí)數(shù)，使得有4個(gè)不同的零點(diǎn).故③錯(cuò).

故答案為：②.