Question

（2012•道里區(qū)三模）已知拋物線C：y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

1

4

，且C上的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=x+m對稱，并且x1x2=-

1

2

，那么m=（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  5

  2

• C．2
• D．3

Answer 1

分析：先確定拋物線方程，設(shè)出直線AB方程代入拋物線方程，求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得m的值．

解答：解：拋物線C：y=ax²（a＞0）可化為x2=

1

a

y（a＞0）
∵拋物線C：y=ax²（a＞0）的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

1

4

，
∴

1

2a

=

1

4

，∴a=2
∴y=2x²，
∵C上的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=x+m對稱，
∴直線AB斜率為-1，
設(shè)直線方程為y=-x+b與y=2x²聯(lián)立得2x²+x-b=0
∴x1x2=-

b

2

=-

1

2

，∴b=1
∵x₁+x₂=-

1

2

，y₁+y₂=

5

2

，
∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（-

1

4

，

5

4

）
代入y=x+m得m=

3

2

故選A．

點(diǎn)評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，屬于中檔題．