Question

已知橢圓的左右兩焦點分別為F₁，F₂，P是橢圓C上的一點，且在x軸的上方，H是PF₁上一點，若，（其中O為坐標原點）．求橢圓C離心率e的最大值．

Answer 1

【答案】分析：由已知中橢圓的左右兩焦點分別為F₁，F₂，P是橢圓C上的一點，且在x軸的上方，H是PF₁上一點，，我們易得PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，進而由，我們可以得到離心率e平方的表達式，分析出其對應函數的單調性，進而得到橢圓C離心率e的最大值．
解答：解：由題意知PF₂⊥F₁F₂，OH⊥PF₁，則有△F₁OH與△F₁PF₂相似，
所以，設F₁（-c，0），F₂（c，0），c＞0，P（c，y₁），
則有，解得，
所以．
根據橢圓的定義得：，
∴，
即，
所以，
∵在上是單調減函數，
∴當時，e²取最大值，
所以橢圓C離心率e的最大值是．
點評：本題考查的知識點是橢圓的標準方程，橢圓的簡單性質，橢圓的離心率，其中由已知條件求出離心率e平方的表達式，并分析出其對應函數的單調性是解答本題的關鍵．