Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，點D為AB的中點
（1）求證：AC⊥BC₁；
（2）求異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，導出CC₁⊥AC，由AB²=AC²+BC²，導出AC⊥CB，證明AC⊥平面C₁CB₁B，推出AC⊥BC₁．
（2）以CA、CB、CC₁分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值．

解答：解：（1）∵ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，
∴CC₁⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴CC₁⊥AC…（2分）
∵AC=3，BC=4，AB=5，
∴AB²=AC²+BC²，∴AC⊥CB …（4分）
又C₁C∩CB=C，
∴AC⊥平面C₁CB₁B，又BC₁?平面C₁CB₁B，
∴AC⊥BC₁…（7分）
（2）以CA、CB、CC₁分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系
∵AC=3，BC=4，AA₁=4，
∴A（3，0，0），C₁（0，0，4），C（0，0，0），B₁（0，4，4），
∴

AC1

=（-3，0，4），

B1C

=（0，-4，-4），
∴cos＜

AC1

，

B1C

＞=

0+0-16

5×4 2

=-

2 2

5

．
∴異面直線AC₁與B₁C所成角的余弦值為

2 2

5

．

點評：本題考查直線與平面垂直，直線與直線垂直，直線與平面平行的證明，考查邏輯推理能力．