Question

【題目】設(shè)，函數(shù).

（1）當(dāng)時，求在內(nèi)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)有兩個極值點時，總有，求實數(shù)的值.

Answer 1

【答案】（1）極大值是，無極小值；（2）

【解析】

（1）當(dāng)時，可求得，令，利用導(dǎo)數(shù)可判斷的單調(diào)性并得其零點，從而可得原函數(shù)的極值點及極大值；

（2）表示出，并求得，由題意，得方程有兩個不同的實根，，從而可得△及，由，得．則可化為對任意的恒成立，按照、、三種情況分類討論，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值可解決；

（1）當(dāng)時，.

令，則，顯然在上單調(diào)遞減，

又因為，故時，總有，所以在上單調(diào)遞減.

由于，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.

當(dāng)變化時，的變化情況如下表：

	+		-
	增	極大	減

所以在上的極大值是，無極小值.

（2）由于，則.由題意，方程有兩個不等實根，則，解得，且，又，所以.

由，，可得

又.將其代入上式得：.

整理得，即

當(dāng)時，不等式恒成立，即.

當(dāng)時，恒成立，即，令，易證是上的減函數(shù).因此，當(dāng)時，，故.

當(dāng)時，恒成立，即，

因此，當(dāng)時，所以.

綜上所述，.