Question

在等比數(shù)列{a_n}中，首項為a₁，公比為q，S_n表示其前n項和．
（I）記S_n=A，S_2n-S_n=B，S_3n-S_2n=C，證明A，B，C成等比數(shù)列；
（II）若，，記數(shù)列{log₂a_n}的前n項和為T_n，當n取何值時，T_n有最小值．

Answer 1

解：（ I）當q=1時，A=na₁，B=2na₁-na₁=na₁，
C=3na₁-2na₁=na₁，可見A，B，C成等比數(shù)列；
當q≠1時，，，
．故有
，．
可得，這說明A，B，C成等比數(shù)列．
綜上，A，B，C成等比數(shù)列；

（II）若q=1，則，
與題設(shè)矛盾，此情況不存在；
若q≠1，則，
故有1+q³=9，解得q=2． （8分）
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．
所以數(shù)列{log₂a_n}是以log₂a為首項，1為公差的等差數(shù)列．
令log₂a_n≤0，即n-1+log₂a≤0?n≤1-log₂a．
因為，
所以log₂a∈[-log₂2010，-log₂1949]，
即得1-log₂a∈[1+log₂1949，1+log₂2010]，
可知滿足log₂a_n≤0的最大的n值為11．
所以，數(shù)列{log₂a_n}的前11項均為負值，
從第12項開始都是正數(shù)．因此，當n=11時，T_n有最小值．
分析：（ I），，．故，．所以A，B，C成等比數(shù)列；
（II）若q=1，則，與題設(shè)矛盾；若q≠1，則，故有1+q³=9，解得q=2．
所以a_n=a•2^n-1，可知log₂a_n=n-1+log₂a．由此入手能夠推導出當n=11時，T_n有最小值．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要注意公式的合理運用．