Question

已知函數(shù)f(x)=

(5-2a)x-1 (x＜1) ax (x≥1)

（a＞0，且a≠1）滿足對(duì)任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是

 

．

Answer 1

分析：由

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義知函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)，利用分段函數(shù)的單調(diào)性解決即可．

解答：解：∵對(duì)任意x₁≠x₂，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立
即對(duì)任意x₁≠x₂，若x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂）
∴函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增
∴5-2a＞0 且a＞1
∴1＜a＜

5

2

又函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，而分段函數(shù)在x=1處（5-2a）x-1取最大值，在x=1處a^x 取最小值
∴（5-2a）-1≤a
∴a≥

4

3

故a的最小值為

4

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義與變式，以及分段函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是單調(diào)性定義的理解，屬于基礎(chǔ)題．