如圖，已知AB是⊙O的直徑，C為圓上任意一點，過C的切線分別與過A、B兩點的切線交于P、Q．

求證：．
答案：略
解析：

證法1：連結(jié)OP、OQ，如圖．∵AP、PQ、BQ為⊙O的切線，

∴∠1=∠2，∠3=∠4．

∵AP、BQ為⊙O切線，AB為直徑，∴AB⊥AP，AB⊥BQ．∴AP∥BQ．

∴∠A=∠B=90°，∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°．∴∠1＋∠4=∠2＋∠3=90°．

∵∠1＋∠5=90°，∴∠4=∠5．∴△AOP∽△BQO．∴．

∵AB=2AO=2OB，∴．

證法2：連結(jié)OC．同上可證得∠2＋∠3=90°．

∵PQ切⊙O于C點，∴OC⊥PQ．

在Rt△PQO中，由射影定理可得，

利用切線長定理，有PC=AP，BQ=QC．，

∵AB=2OC，∴．

證法3：如圖，過P作BQ的垂線PD，垂足為D．

∵AP、BQ、PQ切⊙O于A、B、C，∴∠A=∠B=90°，AP=PC，CQ=BQ．

∴四邊形ABDP為矩形，PQ=AB＋BQ．∴AP=BD，AB=PD．

在Rt△PQD中，利用勾股定理得：，

∴．

∴．


提示：

分析：本題利用切線長定理以及相似三角形或勾股定理等，證法較多．

　


練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)選做題
如圖，已知AB是⊙O的直徑，AC是弦，AD⊥CE，垂足為D，AC平分∠BAD．
（Ⅰ）求證：直線CE是⊙O的切線；（Ⅱ）求證：AC2=AB•AD．

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2

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（1）求證：直線ED⊥平面VBC；
（2）若VC=AB=2BC，求直線EO與平面VBC所成角大小的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

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（Ⅰ）求證：AD⊥CD；
（Ⅱ）若AD=2，AC=
5
，求AB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點為B，OC平行于弦AD，OA=2．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）求AD•OC的值；
（3）若AD+OC=9，求CD的長．

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