Question

已知a為實數(shù)，函數(shù)f（θ）=sinθ+a+3．
（1）若f（θ）=cosθ（θ∈R），試求a的取值范圍；
（2）若a＞1，，求函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值．

Answer 1

解：（1）f（θ）=cosθ即sinθ-cosθ=-3-a，又，
所以，從而a的取值范圍是．
（2），令sinθ+1=x，則0＜x≤2，因為a＞1，
所以，當且僅當時，等號成立，
由解得，所以當時，函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值是；
下面求當時，函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值．
當時，，函數(shù)在（0，2]上為減函數(shù)．
所以函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值為．
當時，函數(shù)在（0，2]上為減函數(shù)的證明：任取0＜x₁＜x₂≤2，，因為0＜x₂x₁≤4，3（a-1）＞4，
所以，h（x₂）-h（x₁）＜0，由單調(diào)性的定義函數(shù)在（0，2]上為減函數(shù)．
于是，當時，函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值是；
當時，函數(shù)f（θ）+g（θ）的最小值．
分析：（1）根據(jù)題意可知sinθ-cosθ=-3-a，然后根據(jù)輔助角公式求出sinθ-cosθ的范圍，從而求出a的范圍；
（2）討論a，當時利用基本不等式求出函數(shù)的最值，當時利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可．
點評：本題主要考查了函數(shù)的值域，以及利用基本不等式求最值和利用函數(shù)單調(diào)性求最值，屬于中檔題．