Question

已知二次函數(shù)f（x）=2x²-4（a-1）x-a²+2a+9，
（1）若在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得f（m）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若對(duì)區(qū)間[-1，1]內(nèi)的一切實(shí)數(shù)m都有f（m）＞0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸分別表示出f（1），f（-1）和f（a-1），進(jìn)而根據(jù)在區(qū)間[-1，1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使得f（m）＞0，推斷函數(shù)f（x）的最大值大于0，進(jìn)而根據(jù)a＜1時(shí)和a≥1時(shí)的函數(shù)的最大值，求得a的范圍；
（2）依題意可知[f（x）]_min＞0，進(jìn)而看0≤a≤2和a＞2時(shí)根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的最小值，進(jìn)而求得a的范圍．

解答：解：∵f（x）的對(duì)稱軸x₀=a-1，而f（1）=-a²-2a+15，
f（-1）=-a²+6a+7，f（a-1）=-3a²+6a+7；
（1）命題?[f（x）]_max＞0，（x∈[-1，1]），
①當(dāng)x₀＜0，即a＜1時(shí)，[f（x）]_max
=f（1）＞0?a²+2a-15＜0?-5＜a＜3，得-5＜a＜1；
②當(dāng)x₀≥0，即a≥1時(shí)，[f（x）]_max
=f（-1）＞0?a²-6a-7＜0?-1＜a＜7，得1≤a＜7；
綜上，a的取值范圍是（-5，7）；
（2）命題?[f（x）]_min＞0（x∈[-1，1]），
①當(dāng)x₀＜-1，即a＜0時(shí)，[f（x）]_min
=f（-1）＞0?-1＜a＜7，得-1＜a＜0；
②當(dāng)-1≤x₀≤1，即0≤a≤2時(shí)，[f（x）]_min
=f（a-1）＞0?3a2-6a-7＜0?

3- 30

3

＜a＜

3+ 30

3

，
得0≤a≤2；
③當(dāng)x₀＞1，即a＞2時(shí)，[f（x）]_min=f（1）＞0?-5＜a＜3，
得2＜a＜3；
綜上，a的取值范圍是（-1，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程得綜合運(yùn)用．考查了利用函數(shù)的單調(diào)性解決方程問題．