Question

已知函數(shù)f（x）=|x-m|，函數(shù)g（x）=xf（x）+m²-7m．
（1）若m=1求不等式g（x）≥0的解集；
（2）求函數(shù)g（x）在[3，+∞）上的最小值；
（3）若對(duì)任意x₁∈（-∞，4]，均存在x₂∈[3，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）m=1時(shí)，g（x）=x|x-1|-6，原不等式即x|x-1|-6≥0，分情況去絕對(duì)值并結(jié)合一元二次不等式的解法，可得解集；
（2）去絕對(duì)值將g（x）化成分段函數(shù)的形式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象得到當(dāng)m＞0、當(dāng)m＜0和當(dāng)m=0時(shí)3種情況下g（x）的單調(diào)性，根據(jù)這個(gè)單調(diào)性再結(jié)合m與3的大小關(guān)系，則不難得到g（x）的最小值的情況；
（3）由題意，f（x）在（-∞，4]上的最小值大于g（x）在[3，+∞）上的最小值，由此討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得到f（x）在（-∞，4]上的最小值，再結(jié)合（2）中所得結(jié)論，分3種情況建立不等式并解之，最后綜合即可得到實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，g（x）=xf（x）+m²-7m=x|x-1|-6．
不等式g（x）≥0，即x|x-1|-6≥0，
①當(dāng)x≥1時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為x²-x-6≥0，解之得x≥3或x≤-2
因?yàn)閤≤-2不滿足x≥1，所以此時(shí)x≥3
②當(dāng)x＜1時(shí)，不等式轉(zhuǎn)化為-x²+x-6≥0，不等式的解集是空集
綜上所述，不等式g（x）≥0的解集為[3，+∞）；
（2）g（x）=xf（x）+m²-7m=

(x- m 2 )2+ 3 4 m2-7m       x≥m -(x- m 2 )2+ 5 4 m2-7m      x＜m

∴當(dāng)m＞0時(shí)，g（x）在區(qū)間（-∞，

m

2

）和（m，+∞）上是增函數(shù)；（

m

2

，m）上是減函數(shù)；
當(dāng)m＜0時(shí)，g（x）在區(qū)間（-∞，m）和（

m

2

，+∞）上是增函數(shù)；（m，

m

2

）上是減函數(shù)；
當(dāng)m=0時(shí)，g（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上是增函數(shù)．
∵定義域?yàn)閤∈[3，+∞），
∴①當(dāng)m≤3時(shí)，g（x）在區(qū)間[3，+∞）上是增函數(shù)，得g（x）的最小值為g（3）=m²-10m+9；
②當(dāng)m＞3時(shí)，因?yàn)間（0）=g（m）=m²-7m，結(jié)合函數(shù)g（x）的單調(diào)性，得g（3）＞g（m）
∴g（x）的最小值為g（m）=m²-7m．
綜上所述，得g（x）的最小值為

m2-10m+9      m≤3 m2-7m            m＞3

；
（3）f（x）=

x-m      x≥m m-x      x＜m

，
因?yàn)閤∈（-∞，4]，所以當(dāng)m＜4時(shí)，f（x）的最小值為f（m）=0；
當(dāng)m≥4時(shí)，f（x）的最小值為f（4）=m-4．
由題意，f（x）在（-∞，4]上的最小值大于g（x）在[3，+∞）上的最小值，結(jié)合（2）得
①當(dāng)m≤3時(shí)，由0＞m²-10m+9，得1＜m＜9，故1＜m≤3；
②當(dāng)3＜m＜4時(shí)，由0＞m²-7m，得1＜m＜7，故3＜m＜4；
③當(dāng)m≥4時(shí)，由m-4＞m²-7m，得4-2

3

＜m＜4+2

3

，故4≤m＜4+2

3

．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1，4+2

3

）

點(diǎn)評(píng)：本題以含有絕對(duì)值的函數(shù)和二次函數(shù)為載體，討論了函數(shù)的性質(zhì)并解關(guān)于x的不等式，著重考查了絕對(duì)值不等式的解法、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合等知識(shí)，屬于難題．