Question

如圖所示，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ABC=90°，AB=4，BC=4，BB₁=3，M、N分別是B₁C₁和AC的中點．
（1）求異面直線AB₁與BC₁所成的角；
（2）求MN的長；
（3）求MN與底面ABC所成的角．

Answer 1

分析：（1）過C作CD∥AB，過A作AD∥CB，交CD于D，連接C₁D，易得四邊形ADC₁B₁為矩形，即∠BC₁D為異面直線AB₁與BC₁所成的角或其補角，根據(jù)余弦定理易得到異面直線AB₁與BC₁所成的角；
（2）取BC的中點P，連接MP、NP，根據(jù)三角形中位線定理，得MP∥BB₁，則MP⊥平面ABC，解三角形MNP即可得到MN的長；
（3）由（2）的結論，MN與底面所成的角為∠MNP，解三角形MNP即可得到MN與底面ABC所成的角．

解答：解：（1）過C作CD∥AB，過A作AD∥CB，交CD于D，連接C₁D，
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁=BC，BC∥AD，BC=AD，
∴四邊形ADC₁B₁為矩形，且AB₁∥C₁D，
∴∠BC₁D為異面直線AB₁與BC₁所成的角或其補角．由已知條件和余弦定理可得cos∠BC1D=

9

25

．
∴異面直線AB₁與BC₁所成的角為arccos

9

25

．
（2）取BC的中點P，連接MP、NP，則MP∥BB₁，
∴MP⊥平面ABC，又NP?平面ABC，
∴MP⊥NP．PN=

1

2

AB=2，MP=3，
∴MN=

4+9

=

13

．
（3）由（2）知，MN與底面所成的角為∠MNP，且NP=2，
tan∠MNP=

3

2

，∠MNP=arctan

3

2

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，異面直線及其所成的角，根據(jù)線面夾角及異面直線夾角的定義，求出線面夾角及異面直線夾角的平面角是解答本題的關鍵．