Question

已知雙曲線S的兩個焦點F₁、F₂在x軸上，它的兩條漸近線分別為l₁、l₂，y=

3

3

x是其中的一條漸近線的方程，兩條直線X=±

3

2

是雙曲線S的準線．
（I）設(shè)A、B分別為l₁、l₂上的動點，且2|

AB

|=5

F1F2

，求線段AB的中點M的軌跡方程：
（II）已知O是原點，經(jīng)過點N（0，1）是否存在直線l，使l與雙曲線S交于P，E且△POE是以PE為斜邊的直角三角形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：先利用已知條件求出雙曲線S的標準方程；
（I）設(shè)出M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)中點坐標公式得x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y；再根據(jù)已知得y=±

3

3

x是l₁，l₂的方程，A，B，分別為l₁，l₂上的點．以及弦長公式和2|

AB

|=5

F1F2

，即得答案：
（II）先設(shè)出直線l的方程，把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，得到P，E坐標與直線斜率之間的等量關(guān)系；再結(jié)合△POE是以PE為斜邊的直角三角形對應(yīng)的結(jié)論

OP

•

OE

=0．即可求出最終結(jié)論．（注意對直線方程分斜率存在和不存在兩種情況來討論）

解答：解：根據(jù)題意設(shè)雙曲線S的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
根據(jù)已知，得

b a = 3 3 a2 c = 3 2 c2=a2+b2

，解方程組，得

a= 3 b=1 c=2

，
∴雙曲線S的方程為

x2

3

-y2=1．
（I）設(shè)M（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x=

x1+x2

2

，y=

y1+y2

2

，
即x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∵2|

AB

| =5|

F1F2

|，
∴|

AB

| =

5

2

|

F1F2

| =

5

2

×2c=10，
即

(x2-x1)2+(y1-y2)2

=10．
由已知得y=±

3

3

x是l₁，l₂的方程，A，B，分別為l₁，l₂上的點．
所以（y₁+y₂）²=

1

3

（x₁-x₂）²．即（x₂-x₁）²=3（y₂+y₁）²．
（y₂-y₁）²=

1

3

(x2+x1) 2．
∴

(x2-x1)2+(y2-y1) 2

=

3(y2+y1)2+ 1 3  (x2+x1) 2

=10．
∴3×（2y）²+

1

3

（2x）²=100．即

x2

75

+ 

3y2

25

=1．
所以線段AB的中點M的軌跡方程為：

x2

75

+ 

3y2

25

=1．
（II）∵經(jīng)過點N（0，1），斜率不存在的直線是x=0，它與曲線S不相交，
∴經(jīng)過點N（0，1）斜率不存在的直線不符合要求．
當經(jīng)過點N（0，1）的直線斜率存在時，設(shè)方程為y=kx+1．
假設(shè)它滿足要求，根據(jù)已知設(shè)P（x₃，kx₃+1），E（x₄，kx₄+1）
∵△POE是以PE為斜邊的指直角三角形
∴

OP

•

OE

=0．即x₃x₄+（kx₃+1）（kx₄+1）=0．
∴（1+k²）x₃x₄+k（x₃+x₄）+1=0．
由

x2 3 - y2=1 y=kx+1

得（1-3k²）x²-6kx-6=0．
∴x₃+x₄=

6k

1-3k2

，x₃•x₄=

-6

1-3k2

．
∴（1+k²）•

-6

1-3k2

+k•

6k

1-3k2

=1．化簡得：3k²+5=0，此方程無實數(shù)根．
所以經(jīng)過點N（0，1）斜率存在的直線l也不滿足要求．
綜上可得：滿足要求的直線l不存在．

點評：本題是一道綜合性很強的好題．涉及到的知識點有：雙曲線標準方程的求法，軌跡方程的求法，兩點間的距離公式，以及韋達定理等，是對知識的綜合考查，要想在這種類型題目上得分，需要有比較扎實的基本功．