過點(diǎn)（1，0）的直線與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且率心率為
2
2
的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線y=
1
2
x過線段AB中點(diǎn)，同時橢圓C上存在一瞇與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程．
由e=
c
a
=
2
2
，得
a2-b2
a2
=
1
2
，從而a2=2b2，c=b
設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓上
則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，（x12-x22）+2（y12-y22）=0，
y1-y2
x1-x2
=-
x1+x2
2(y1+y2)

設(shè)AB中點(diǎn)為（x0，y0），則kAB=-
x0
2yo
，又（x0，y0）在直線y=x上，y0=x0，于是-
x0
2yo
=-1，kAB=-1，則l的方程為y=-x+1．
右焦點(diǎn)（b，0）關(guān)于l的對稱點(diǎn)設(shè)為（x′，y′），則
y‘
x’-b
=1
y′
2
=-
x′+b
2
+1
解得
x′=1
y′=1-b

由點(diǎn)（1，1-b）在橢圓上，得1+2（1-b）2=2b2，b2=
9
16
，a2=
9
8

∴所求橢圓C的方程為
8x2
9
+
16y2
9
=1，
l的方程為y=-x+1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，在直角坐標(biāo)平面上的矩形OABC中，|OA|=2，| OC |=
3
，點(diǎn)P，Q滿足
OP
=
λOA
，
AQ
=( 1-λ )
AB
  ( λ∈R )，點(diǎn)D是C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，直線DP與CQ相交于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)（1，0）的直線與點(diǎn)M的軌跡相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求△AEF的面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線M：y2=4x，圓N：（x-1）2+y2=r2（其中r為常數(shù)，r＞0）．過點(diǎn)（1，0）的直線l交圓N于C、D兩點(diǎn)，交拋物線M于A、B兩點(diǎn)，且滿足|AC|=|BD|的直線l只有三條的必要條件是（　�。�
A、r∈（0，1]
B、r∈（1，2]
C、r∈(
3
2
，4)
D、r∈[
3
2
，+∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓的兩個焦點(diǎn)F1(-
3
，0)，F2(
3
，0)，且橢圓短軸的兩個端點(diǎn)與F2構(gòu)成正三角形．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E（m，0），使
PE
•
QE
恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知定義在（0，+∞）上的函數(shù)f(x)=
(4k-1)ln
1
x
，x∈(0 ， e]
kx2-kx，x∈(e ， +∞)
是增函數(shù)
（1）求常數(shù)k的取值范圍
（2）過點(diǎn)（1，0）的直線與f（x）（x∈（e，+∞））的圖象有交點(diǎn)，求該直線的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•泰安一模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=4
3
x的焦點(diǎn)F重合，且橢圓短軸的兩個端點(diǎn)與F構(gòu)成正三角形．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)（1，0）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q，試問在x軸上是否存在定點(diǎn)E（m，0），使
PE
•
QE
恒為定值？若存在，求出E的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由．

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