Question

已知△ABC的面積為1，點D在AC上，DE∥AB，連接BD，設△DCE、△ABD、△BDE中面積最大者的值為y，則y的最小值為______．

Answer 1

設CD：CA=k，則因為點D在AC上，所以0＜k＜1
∵DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，∴S_△DCE：S_△ACB=（CD：CA）²=k²，
∵S_△ABC=1，∴S_△DCE=k²；
∵AD：AC=（AC-CD）：AC=1-k，∴S_△ABD：S_△ABC=AD：AC=1-k，∴S_△ABD=1-k
∵DE∥AB，∴CE：BE=CD：AD=k：（1-k）
∵S_△DCE：S_△BDE=CE：BE=k：（1-k）
∴S_△BDE=[（1-k）：k]×S_△DCE=-k²+k
當k²=1-k時，k²+k-1=0，∴k=

-1+ 5

2

；當k²=-k²+k時，2k²-k=0，∴k=

1

2

；
當1-k=-k²+k時，k²-2k+1=0，∴k=1
∴y=

1-k，0＜k≤ -1+ 5 2 k2， -1+ 5 2 ＜k＜1

∴當k=

-1+ 5

2

時，y有最小值=1-k=k²=

3- 5

2

故答案為：

3- 5

2