Question

約定R^＋表示正實數(shù)集，定義在R^＋上的函數(shù)f(x)，對任意的x、y∈R^＋都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)且僅當(dāng)x＞1時，f(x)＞0成立．

(1)設(shè)x、y∈R^＋，求證：f()＝f(y)－f(x)；

(2)設(shè)x₁、x₂∈R^＋，若f(x₁)＞f(x₂)，比較x₁與x₂的大小；

(3)解不等式f()＞f(a^x－3)(0＜a＜1)．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵對任意的x，y∈R＋都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)， 　　∴f()＋f(x)＝f(·x)＝f(y)． 　　∴f()＝f(y)－f(x)． 　　(2)解：設(shè)0＜m＜n，則＞1． 　　由(1)，知f(n)－f(m)＝f()， 　　又∵當(dāng)且僅當(dāng)x＞1時，f(x)＞0， 　　∴f(n)－f(m)＞0． 　　∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 　　∴當(dāng)f(x1)＞f(x2)時，x1＞x2． 　　(3)解：由函數(shù)的定義域及單調(diào)性，知原不等式等價于： 　　 　　解得3＜ax＜5． 　　又∵0＜a＜1， 　　∴l(xiāng)oga5＜x＜loga3． 　　∴不等式的解集為(loga5，loga3)．