Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（a^x-1）（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）由a^x-1＞0，得a^x＞1 下面分類討論：當a＞1時，x＞0；當0＜a＜1時，x＜0即可求得f（x）的定義域；
（2）先對a值進行分類討論：當a＞1時，當0＜a＜1時，再任取x₁、x₂屬于集合范圍之內(nèi)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性的定義討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

解答：解：（1）由a^x-1＞0，得a^x＞1．（1分）
當a＞1時，x＞0；（2分）
當0＜a＜1時，x＜0．（3分）
所以f（x）的定義域是當a＞1時，x∈（0，+∞）；當0＜a＜1時，x∈（-∞，0）．（4分）
（2）當a＞1時，任取x₁、x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，（5分）
則ax1＜ax2，所以ax1-1＜ax2-1．（6分）
因為a＞1，所以loga(ax1-1)＜loga(ax2-1)，即f（x₁）＜f（x₂）．（8分）
故當a＞1時，f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．（9分）
當0＜a＜1時，任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，（10分）
則ax1＞ax2，所以ax1-1＞ax2-1．（11分）
因為0＜a＜1，所以loga(ax1-1)＜loga(ax2-1)，即f（x₁）＜f（x₂）．（13分）
故當0＜a＜1時，f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)．（14分）

點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、對數(shù)函數(shù)的定義域、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．