Question

在極坐標(biāo)系Ox中，已知曲線(xiàn)C₁：ρcos（θ+

π

4

)=

2

2

，C₂：ρ=1（0≤θ≤π），C₃：

1

ρ2

=

cos2θ

3

+sin2θ，設(shè)C₁與C₂交于點(diǎn)M
（I）求點(diǎn)M的極坐標(biāo)；
（II）若動(dòng)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M，且與曲線(xiàn)C₃交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，求

|MA|•|MB|

|AB|

的最小值．

Answer 1

分析：（I）把曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，解方程組求得點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（1，0），從而求得它的極坐標(biāo)．
（II）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=tsinα

，代入曲線(xiàn)C₃的方程整理，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求得t₁+t₂和t₁•t₂的值，再由|MA|•|MB|=|t₁•t₂|，|AB|=

(t1+t 2)2-4 t1•t 2

，求出

|MA|•|MB|

|AB|

=

1

3 • 1+sin2α

，由此求得它的最小值．

解答：解：（I）曲線(xiàn)C₁：ρcos（θ+

π

4

)=

2

2

，即 x-y=1，C₂：ρ=1（0≤θ≤π），即 x²+y²=1（y≥0）．
 由

x-y=1 x2+ y2=1(y≥0)

求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0），故它的極坐標(biāo)為（1，0）．
（II）設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為

x=1+tcosα y=tsinα

，代入曲線(xiàn)C₃的方程整理可得 （3sin²α+cos²α）t²+2cosα•t-2=0，
設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則 t₁+t₂=

2cosα

3sin2α+cos2α

，t₁•t₂=

2

3sin2α+cos2α

．
∴|MA|•|MB|=|t₁•t₂|=

2

3sin2α+cos2α

，|AB|=

(t1+t 2)2-4 t1•t 2

=

2 3 1+sin2α

3sin2α+cos2α

，
∴

|MA|•|MB|

|AB|

=

1

3 • 1+sin2α

．
∵0≤α≤π，∴0≤sin²α≤1，故

|MA|•|MB|

|AB|

的最小值為

1

3 • 2

=

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程，參數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．