Question

設(shè)M是圓x²+y²-6x-8y=0上的動點(diǎn)，O是原點(diǎn)，N是射線OM上的點(diǎn)，若|OM|•|ON|=150，求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析：先設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x，y），欲求出動點(diǎn)N的軌跡方程，只須求出x，y的關(guān)系式即可，結(jié)合|OM|•|ON|=150關(guān)系式，用坐標(biāo)來表示距離，利用直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系即可求得點(diǎn)N的軌跡方程．

解答：解：設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x，y），
由題設(shè)|OM|•|ON|=150，得

x 2 1 + y 2 1

•

x2+y2

=150，
當(dāng)x₁≠0，x≠0時，∵N是射線OM上的點(diǎn)，
∴有

y

x

=

y1

x1

，設(shè)

y

x

=

y1

x1

=k，
有y=kx，y₁=kx₁，則原方程為x₁²+k²x₁²-6x₁-8kx₁=0，
由于x≠0，所以（1+k²）x₁=6+8k，
又|x₁x|（1+k²）=150，因?yàn)閤與x₁同號，
所以x₁=

150

(1+k2)x

，代入上式得

150

x

=6+8k，
因?yàn)閗=

y

x

，所以

150

x

=6+8

y

x

，
化簡可得：3x+4y-75=0為所求．

點(diǎn)評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．本題求曲線的軌跡方程采用的方法是直接法，直接法直接法是將動點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點(diǎn)軌跡方程．