Question

已知函數(shù)f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的兩個(gè)根（α＞β），f′（x）是f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)a₁=1，an+1=an-

f(an)

f′(an)

（n=1，2，…）．
（1）求α，β的值；
（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a_n＞α；
（3）記bn=ln

an-β

an-α

（n=1，2，…），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

（1）∵f（x）=x²+x-1，α，β是方程f（x）=0的兩個(gè)根（α＞β），
∴α=

-1+ 5

2

，β=

-1- 5

2

；
（2）f'（x）=2x+1，an+1=an-

a 2n +an-1

2an+1

=an-

1 2 an(2an+1)+ 1 4 (2an+1)- 5 4

2an+1

=

1

4

(2an+1)+

5 4

2an+1

-

1

2

，
∵a₁=1，
∴有基本不等式可知a2≥

5 -1

2

＞0（當(dāng)且僅當(dāng)a1=

5 -1

2

時(shí)取等號(hào)），
∴a2＞

5 -1

2

＞0，同樣a3＞

5 -1

2

，an＞

5 -1

2

=α（n=1，2），

（3）an+1-β=an-β-

(an-α)(an-β)

2an+1

=

an-β

2an+1

(an+1+α)
而α+β=-1，即α+1=-β，an+1-β=

(an-β)2

2an+1

，
同理an+1-α=

(an-α)2

2an+1

，bn+1=2bn，
又b1=ln

1-β

1-α

=ln

3+ 5

3- 5

=2ln

3+ 5

2

sn=2(2n-1)ln

3+ 5

2