如圖，AB是☉O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交☉O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E，OE交AD于點F．
（Ⅰ）求證：DE 是☉O的切線；
（Ⅱ）若
AC
AB
=
2
5
，求
AF
DF
的值．
考點：與圓有關的比例線段,圓的切線的判定定理的證明
專題：立體幾何
分析：（Ⅰ）連結OD，由圓的性質得OD∥AE，由AE⊥DE，得DE⊥OD，由此能證明DE是⊙O切線．
（Ⅱ）過D作DH⊥AB于H，則有cos∠DOH=cos∠CAB=
AC
AB
=
2
5
，設OD=5x，則AB=10x，OH=2x，AH=7x，由已知得△AED≌AHD，△AEF∽△DOF，由此能求出
AF
DF
．
解答： （Ⅰ）證明：連結OD，由圓的性質得∠ODA=∠OAD=∠DAC，
OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，
又OD為半徑，∴DE是⊙O切線．
（Ⅱ）解：過D作DH⊥AB于H，則有∠DOH=∠CAB，
cos∠DOH=cos∠CAB=
AC
AB
=
2
5
，
設OD=5x，則AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，
∵∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，
DH⊥AB，交AB于H，
∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，
又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，
∴
AF
DF
=
AE
OD
=
AH
OD
=
7x
5x
=
7
5
．
點評：本題考查圓的切線的證明，考查圓內兩線段的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意三角形全等和三角形相似的性質的合理運用．
練習冊系列答案
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（1+x）2+（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）30的展開式中含x2的系數(shù)為（　　）
A、C
 
3
31
B、C
 
2
31
C、C
 
3
30
D、C
 
2
30

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2015°是（　　）
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π
2
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2
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2
3
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2
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．

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2nπ
3
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．

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．

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