Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若Sn=2an+n，且bn=

an-1

anan+1

．
（1）求證：{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）數(shù)列的第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求得 a_n+1-1=2（a_n-1-1），a₁-1=-2≠0，可得{a_n-1}是以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）求出an=-2n+1，由此求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，再用裂項(xiàng)法求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

解答：（1）解：由題意可得：當(dāng)n≥2時(shí)，由 a_n =S_n-S_n-1=2a_n+n-（2a_n-1+n-1），可得 a_n =2a_n-1-1，…（2分）
∴a_n+1-1=2（a_n-1-1）．…（4分）
又因?yàn)镾₁=2a₁+1，所以a₁=-1，a₁-1=-2≠0，
∴{a_n-1}是以-2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．…（7分）
（2）解：由（1）知，an-1=-2×2n-1=-2n，即an=-2n+1，…（9分）
∴bn=

-2n

(1-2n)(1-2n+1)

=

1

2n+1-1

-

1

2n-1

，（11分）
故Tn=-[(

1

2-1

-

1

22-1

)+(

1

22-1

-

1

23-1

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)]=

1

2n+1-1

-1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比關(guān)系的確定，用裂項(xiàng)法對(duì)數(shù)列進(jìn)行求和，數(shù)列的第n項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，屬于難題．