Question

如圖，直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，C₁C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB，D、E分別是棱C₁C、B₁C₁的中點(diǎn)．

(1)求點(diǎn)B到平面A₁C₁CA的距離；

(2)求二面角B－A₁D－A的大��；

(3)在線段AC上是否存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面A₁BD？若存在，確定其位置并證明結(jié)論；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解一(綜合幾何法，A版本) 　　(1)∵是直三棱柱，∴底面ABC 　　∴　　　　　　1分 　　∵，∴平面　　　　　　　3分 　　∵BC＝2　∴點(diǎn)B到平面的距離為2　　　　　　4分 　　(2)分別延長、交于點(diǎn)G，過C作于M，連結(jié)BM　　5分 　　∵平面，　∴CM為BM在平面內(nèi)的射影， 　　∴為二面角的平面角　　　　　6分 　　在平面中，∵，D為的中點(diǎn) 　　∴，，在直角中， 　　∴，即二面角的大小為　　　　8分 　　(3)在線段AC上存在一點(diǎn)F，使得EF⊥平面，其位置為AC的中點(diǎn)　9分 　　證明如下： 　　∵是直三棱柱，∴∥ 　　由(1)，知平面，∴⊥平面， 　　∴EF在平面內(nèi)的射影為 　　∵F為AC的中點(diǎn)　∴　∴　　　11分 　　同理可證　　∴平面 　　∵E為定點(diǎn)，平面為定平面　　∴點(diǎn)F唯一　12分 　　解二(向量法，B版本) 　　(1)同解一 　　(2)在直三棱柱中，，分別以向量、、所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由，D、E分別是棱、的中點(diǎn)，得C(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，(0，0，2)，(2，0，2)， 　　(0，2，2)，D(0，0，1)，E(1，0，2)　　　　　　5分 　　∴，0，1)，，2，2)，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則 　　　即 　　解得，，即，，2)　6分 　　又平面的一個(gè)法向量為(1，0，0) 　　∴＜，＞＝， 　　即二面角的大小為　　　　　　8分 　　(3)由F是線段AC的中點(diǎn)，得F(0，1，0)，則＝(1，，2)， 　　∵，，2)，＝ 　　∴∥，又，，2)為平面的一個(gè)法向量， 　　所以⊥平面，即EF⊥平面．　　　　　12分