設函數(shù)(其中).

(1) 當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2) 當時，函數(shù)在上有且只有一個零點．

 

【答案】

（1）函數(shù)的遞減區(qū)間為遞增區(qū)間為極大值為，極小值為；（2）詳見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）先求，解方程，得可能的極值點，列表可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）．當時，，在上無零點，故只需證明函數(shù)在上有且只有一個零點．分和利用函數(shù)的單調(diào)性證明函數(shù)在上有且只有一個零點．

試題解析：（1）當時，，．

令，得，．

當變化時,的變化如下表:

極大值

極小值

由表可知，函數(shù)的遞減區(qū)間為遞增區(qū)間為極大值為，極小值為．                                  6分

（2）．當時，，在上無零點，故只需證明函數(shù)在上有且只有一個零點．

①若，則當時，在上單調(diào)遞增．

在上有且只有一個零點．

②若，則在上單減，上單增．

令則．在上單增，在上單增，，在上有且只有一個零點．

綜上，在上有且只有一個零點．                          13分

考點：1、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；2、利用導數(shù)討論函數(shù)的零點．

 

練習冊系列答案
相關習題

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（09年山東蒼山期末文）（12分）

設函數(shù)其中向量，，。

（1）求的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間；

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設函數(shù)(其中).

(Ⅰ)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)當時,求函數(shù)在上的最大值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆湖南省高二下學期期中理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

設函數(shù) 其中

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ） 討論的極值.

 

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（本小題滿分12分）設函數(shù) 其中

（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ） 討論的極值.

 

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