【題目】設(shè)函數(shù)

(1)若,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(2)若,求證:在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

【答案】(1);(2)見解析.

【解析】試題分析: (1)已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍,將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題;

(2)研究函數(shù)的零點(diǎn),用零點(diǎn)存在性定理、數(shù)形結(jié)合思想求解.

試題解析:(1)∵,∴

,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,

對(duì)任意的恒成立,即對(duì)任意的恒成立,

,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.

(2)當(dāng)時(shí),,∴

,得;由,得.∴在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,

當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,

在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),

當(dāng)時(shí),,∴在區(qū)間上單調(diào)遞減,

,

在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

綜上,若,則在區(qū)間上有且僅有一個(gè)零點(diǎn).

點(diǎn)晴:本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)的個(gè)數(shù),對(duì)邏輯思維能力、數(shù)形結(jié)合思想要求很高,屬于難題.第(1)問已知單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍,將含參函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的最值問題;第(2)問研究函數(shù)的零點(diǎn),用零點(diǎn)存在性定理、數(shù)形結(jié)合思想求解.

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