【題目】在三棱錐S﹣ABC中,AB⊥BC,AB=BC= ,SA=SC=2,二面角S﹣AC﹣B的余弦值是 ,若S、A、B、C都在同一球面上,則該球的表面積是 .
【答案】6π
【解析】解:如圖所示:
取AC中點(diǎn)D,連接SD,BD,則由AB=BC,SA=SC得出SD⊥AC,BD⊥AC,
∴∠SDB為S﹣AC﹣B的平面角,且AC⊥面SBD.
由題意:AB⊥BC,AB=BC= ,易得:△ABC為等腰直角三角形,且AC=2,
又∵BD⊥AC,故BD=AD= AC,
在△SBD中,BD= = =1,
在△SAC中,SD2=SA2﹣AD2=22﹣12=3,
在△SBD中,由余弦定理得SB2=SD2+BD2﹣2SDBDcos∠SDB=3+1﹣2× =2,
滿足SB2=SD2﹣BD2 , ∴∠SBD=90°,SB⊥BD,
又SB⊥AC,BD∩AC=D,∴SB⊥面ABC.
以SB,BA,BC為頂點(diǎn)可以補(bǔ)成一個棱長為 的正方體,S、A、B、C都在正方體的外接球上,
正方體的對角線為球的一條直徑,所以2R= ,R= ,球的表面積S=4 =6π.
所以答案是:6π.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了球內(nèi)接多面體的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握球的內(nèi)接正方體的對角線等于球直徑;長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在一次模擬考試后,從高三某班隨機(jī)抽取了20位學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,其分布如下:
分組 | [90,100] | [100,110) | [110,120) | [120,130) | [130,140) | [140,150) |
頻數(shù) | 1 | 2 | 6 | 7 | 3 | 1 |
分?jǐn)?shù)在130分(包括130分)以上者為優(yōu)秀,據(jù)此估計該班的優(yōu)秀率約為( 。
A.10%
B.20%
C.30%
D.40%
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 【2017四川宜賓二診】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),曲線的參數(shù)方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系并說明理由;
(Ⅱ)設(shè)直線與曲線的兩個交點(diǎn)分別為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn , 點(diǎn)P(an , Sn)在函數(shù)f(x)= x2+ x上,已知b1=1,3bn﹣2bn﹣1=0(n≥2,n∈N*),
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若cn=anbn , 求數(shù)列{cn}的前n項和Tn;
(3)是否存在整數(shù)m,M,使得m<Tn<M對任意正整數(shù)n恒成立,且M﹣m=9,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: (a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3(–1, ),P4(1, )中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求C的方程;
(2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1,證明:l過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知長方體AC1中,AD=AB=2,AA1=1,E為D1C1的中點(diǎn),如圖所示.
(Ⅰ)在所給圖中畫出平面ABD1與平面B1EC的交線(不必說明理由);
(Ⅱ)證明:BD1∥平面B1EC;
(Ⅲ)求平面ABD1與平面B1EC所成銳二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,側(cè)棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1 , D是棱AA1的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:平面BDC1⊥平面BDC
(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱為兩部分,求這兩部分體積的比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(, 為自然對數(shù)的底數(shù))在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn).
(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解高三年級學(xué)生寒假期間的學(xué)習(xí)情況,某學(xué)校抽取了甲、乙兩班作為對象,調(diào)查這兩個班的學(xué)生在寒假期間平均每天學(xué)習(xí)的時間(單位:小時),統(tǒng)計結(jié)果繪成頻率分布直方圖(如圖).已知甲、乙兩班學(xué)生人數(shù)相同,甲班學(xué)生平均每天學(xué)習(xí)時間在區(qū)間的有8人.
(I)求直方圖中的值及甲班學(xué)生平均每天學(xué)習(xí)時間在區(qū)間的人數(shù);
(II)從甲、乙兩個班平均每天學(xué)習(xí)時間大于10個小時的學(xué)生中任取4人參加測試,設(shè)4人中甲班學(xué)生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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