Question

10．已知函數f（x）=$\frac{1-x}{ax}$+lnx在（1，+∞）上是增函數，且a＞0．
（1）求a的取值范圍；
（2）求函數g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數為${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}$，利用函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}≥0$在（1，+∞）上恒成立，得到$x≥\frac{1}{a}$在（1，+∞）上恒成立，然后求解即可；
（2）求出導函數g′（x），判斷函數的單調性，然后求解函數的最值．

解答 解：（1）f（x）的導數為${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}$，
因為函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，
所以${f^'}（x）=-\frac{1}{{a{x^2}}}+\frac{1}{x}≥0$在（1，+∞）上恒成立，
即$x≥\frac{1}{a}$在（1，+∞）上恒成立，
所以只需$1≥\frac{1}{a}$，
又因為a＞0，所以a≥1；
（2）因為x∈[0，+∞），所以${g^'}（x）=\frac{1}{1+x}-1=\frac{-x}{1+x}≤0$
所以g（x）在[0，+∞）上單調遞減，
所以g（x）=ln（1+x）-x在[0，+∞）上的最大值為g（0）=0．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的極值以及函數的最值的求法，考查計算能力．