Question

19．如圖，橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的頂點(diǎn)為A₁，A₂，B₁B₂，焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，a²+b²=7
S${\;}_{?{A}_{1}{B}_{1}{A}_{2}{B}_{2}}$=2S${\;}_{?{B}_{1}{F}_{1}{B}_{2}{F}_{2}}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線m過P（1，1），且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)P是A，B的中點(diǎn)時(shí)，求直線m的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)知a²+b²=7，由已知條件得知a=2c，從而解得a，b即求出其方程；
（2）分情況進(jìn)行討論：當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，利用平方差法：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程作差，根據(jù)斜率公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得斜率，再由點(diǎn)斜式即可求得此時(shí)直線方程；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，檢驗(yàn)即可．

解答 解：（1）依題意有|A₁B₂|=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{7}$，∴a²+b²=7…（1分）
又由${S_{平行四邊形{A_1}{B_1}{A_2}{B_2}}}=2{S_{平行四邊形{B_1}{F_1}{B_2}{F_2}}}$．
有2a•b=2•2c•b，∴a=2c…（2分）
解得a²=4，b²=3，…（3分），
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．…（4分）
（2）當(dāng)直線m的斜率存在時(shí)，設(shè)直線m的方程為y=k（x-1）+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1$，$\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1$，兩式相減得：$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{3}{4}×\frac{{{x_1}+{x_2}}}{{{y_1}+{y_2}}}$．…（6分）
∵P是AB的中點(diǎn)，∴可得直線m的斜率為$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=-\frac{3}{4}$，…（10分）
當(dāng)直線m的斜率不存在時(shí)，將x=1代入橢圓方程并解得$A（1，\frac{3}{2}）$，$B（1，-\frac{3}{2}）$，
這時(shí)AB的中點(diǎn)為（1，0），∴x=1不符合題設(shè)要求．…（11分）
綜上，直線m的方程為3x+4y-7=0…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解，考查分類討論思想，凡涉及弦中點(diǎn)問題一般可考慮點(diǎn)差法，即設(shè)出弦端點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓錐曲線方程作差，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及斜率公式可得弦斜率及中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系．