Question

定義在［－1，1］上的奇函數(shù)滿足，且當，時，有．
（1）試問函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，若存在，求出A，B兩點的坐標；若不存在，請說明理由并加以證明.
（2）若對所有，恒成立，
求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，設變量作差變形定號下結論。
（2）實數(shù)m的取值范圍是或或．

解析試題分析：解：（1）假設函數(shù)的圖象上存在兩個滿足條件的點A，B，則它們的縱坐標相同
任取，且， 則

  4分
因為，
所以，
∴是［－1，1］上的增函數(shù)  6分
這與假設矛盾，所以假設不成立，
∴ 函數(shù)f(x)的圖象上是否存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直  8分
（2）要使得對所有，恒成立，
只須，  11分
由(1)得是［－1，1］上的增函數(shù) ∴
∴對任意的恒成立  3分
令，則只須，
解之得：或或   15分
∴實數(shù)m的取值范圍是或或．  16分
考點：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性
點評：解決的關鍵是利用單調(diào)性的定義證明，同事利用不等式恒成立來化簡為分離參數(shù)的思想來求解最值得到參數(shù)的范圍。