Question

已知函數(shù)f（x）=2sinωx•（其中ω＞o），且函數(shù)f（x）的最小正周期為π
（I）求ω的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移單位長度，再將所得圖象各點的橫坐標縮小為原來的倍（縱坐標不變）得到函數(shù)y=g（x）的圖象．求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：（I）∵2sinωxcosωx=sin2ωx，cos²ωx=（1+cos2ωx）
∴f（x）=sin2ωx+（1+cos2ωx）-
=sin2ωx+cos2ωx=2sin（2ωx+）
∵函數(shù)f（x）的最小正周期為π
∴=π，解之得ω=1
（II）由（I），得f（x）=2sin（2x+）
將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移單位長度，得到y(tǒng)=f（x+）的圖象；
再將所得圖象各點的橫坐標縮小為原來的倍（縱坐標不變）得到y(tǒng)=f（2x+）的圖象
∴函數(shù)y=g（x）的解析式為y=2sin[2（2x+）+]，可得g（x）=2sin（4x+）
令-+2kπ≤4x+≤+2kπ，k∈Z，解之得-≤x≤，k∈Z
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-，]，k∈Z
同理，令+2kπ≤4x+≤+2kπ（k∈Z ），得g（x）的單調(diào)減區(qū)間是[，]，k∈Z
綜上所述，可得g（x）的單調(diào)減區(qū)間是[，]，單調(diào)增區(qū)間是[-，]，k∈Z．
分析：（I）利用二倍角的三角函數(shù)公式結(jié)合輔助角公式進行化簡，得f（x）=2sin（2ωx+）．再利用三角函數(shù)的周期公式即可解出ω的值．
（II）根據(jù)函數(shù)圖象平移的規(guī)律，可得函數(shù)y=g（x）的解析式為g（x）=2sin（4x+），再由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的結(jié)論解關(guān)于x的不等式，即可求出函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．
點評：本題給出三角函數(shù)表達式，求函數(shù)的圖象平移后所得圖象對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，著重考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識點，屬于中檔題．