Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*，
（Ⅰ）證明：數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)b_n=na_n-n²-n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；

Answer 1

分析：（Ⅰ）把題設(shè)整理成a_n+1-（n+1）=4（a_n-n）的樣式進(jìn)而可知

an+1-(n+1)

an-n

=4為常數(shù)，判定數(shù)列{a_n-n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中的首項(xiàng)和公比可求得{a_n-n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)題設(shè)求得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)錯(cuò)位相減法求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：（Ⅰ）證明：由題設(shè)a_n+1=4a_n-3n+1，
得a_n+1-（n+1）=4（a_n-n），n∈N₊
又a₁-1=1≠0∴

an+1-(n+1)

an-n

=4
∴數(shù)列{a_n-n}是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列
（Ⅱ）解：由（1）可知a_n-n=4^n-1
而b_n=n（a_n-n）-n=n•4^n-1-n
∴S_n=1•4⁰+2•4¹+3•4²+n•4^n-1-（1+2+3+n）T_n
=1•4⁰+2•4¹+3•4²+n•4^n-1①
4T_n=1•4¹+2•4²+3•4³+（n-1）•4^n-1+n•4ⁿ②
由①-②得：-3T_n=1+4+4²+4^n-1-n•4ⁿ=

1-4n

1-4

-n•4n=

4n-1

3

-n•4n
∴Tn=

1-4n

9

+

n•4n

3

=

1

9

+(

n

3

-

1

9

)•4n
=

(3n-1)•4n

9

+

1

9

=

(3n-1)•4n+1

9

Sn=

(3n-1)•4n+1

9

-

n(n+1)

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的判定和數(shù)列的求和問(wèn)題．當(dāng)數(shù)列是由等比和等差數(shù)列構(gòu)成時(shí)，�？捎缅e(cuò)位相減法求的數(shù)列的前n項(xiàng)和．