Question

如圖，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD為菱形，AC∩BD=O，側(cè)棱AA₁⊥BD，點(diǎn)F為DC₁的中點(diǎn)．
（I） 證明：OF∥平面BCC₁B₁；
（II）證明：平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中底面ABCD為菱形，AC∩BD=O，點(diǎn)F為DC₁的中點(diǎn)．結(jié)合三角形中位線定理我們易證明OF∥BC₁，進(jìn)而結(jié)合線面平行的判定定理，我們即可得到OF∥平面BCC₁B₁；
（II）由四邊形ABCD為菱形，根據(jù)棱形的性質(zhì)，我們易得對角線垂直，結(jié)合側(cè)棱AA₁⊥BD，我們根據(jù)線面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC₁A₁，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的判定定理得到平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁
解答：證明：（I）∵四邊形ABCD為菱形且AC∩BD=O，
∴O是BD的中點(diǎn)．（2分）
又點(diǎn)F為DC₁的中點(diǎn)，
∴在△DBC₁中，OF∥BC₁，（4分）
∵OF?平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，
∴OF∥平面BCC₁B₁．（6分）
（II）∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD⊥AC，（8分）
又BD⊥AA₁，AA₁∩AC=A，且AA₁，AC?平面ACC₁A₁，（10分）
∴BD⊥平面ACC₁A₁，（11分）
∵BD?平面DBC₁，
∴平面DBC₁⊥平面ACC₁A₁．（13分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是平面與平面垂直的判定及直線與平面平行的判定，熟練掌握線面平行，線面垂直及面面垂直的判定定理及證明步驟是解答本題的關(guān)鍵．