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已知拋物線C,過C上一點M,且與M處的切線垂直的直線稱為C在點M的法線.

(1)若C在點M的法線的斜率為,求點M的坐標(x0,y0);

(2)設P(-2,a)為C對稱軸上的一點,在C上是否存在點,使得C在該點的法線通過點P?若有,求出這些點,以及C在這些點的法線方程;若沒有,請說明理由.

 

【答案】

M(-1,)(2)當a>0時,有三個點(-2+,),(-2-,)及(-2,-);法線過點P(-2,a),其方程分別為:

x+2y+2-2a=0,x-2y+2+2a=0,x=-2;

 a≤0時,有一個點(-2,-)法線過點P(-2,a),其方程為:x=-2。

【解析】(1)由題意設過點M的切線方程為:,代入C得,

,∴,

即M(-1,).

(2)當a>0時,假設在C上存在點滿足條件.設過Q的切線方程為:,代入,則,

.當時,由于,

或  ;當k=0時,顯然也滿足要求.

∴有三個點(-2+,),(-2-,)及(-2,-),

且過這三點的法線過點P(-2,a),其方程分別為:

x+2y+2-2a=0,x-2y+2+2a=0,x=-2.

a≤0時,在C上有一個點(-2,-),在這點的法線過點P(-2,a),其方程為:x=-2.

考點:拋物線與直線相切。

點評:在解決拋物線與直線相切的問題時,一般聯(lián)立直線方程與拋物線方程,得關于x的一元二次方程,然后利用方程有唯一解,△=0來求解。

 

練習冊系列答案
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已知拋物線C:y=x2+4x+
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2
,過拋物線C上點M且與M處的切線垂直的直線稱為拋物線C在點M的法線.
(1)若拋物線C在點M的法線的斜率為-
1
2
,求點M的坐標(x0,y0);
(2)設P(-2,4)為C對稱軸上的一點,在C上一定存在點,使得C在該點的法線通過點P.試求出這些點,以及C在這些點的法線方程.

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