Question

如圖，設(shè)拋物線方程為x²=2py（p＞0），M為直線l：y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A、B．
（1）設(shè)拋物線上一點P到直線l的距離為d，F(xiàn)為焦點，當時，求拋物線方程；
（2）若M（2，-2），求線段AB的長；
（3）求M到直線AB的距離的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)，得y_P+2p-（y_P+）=，由此可求拋物線方程；
（2）求出拋物線方程與過M點的直線為y=k（x-2）-2聯(lián)立，利用直線與拋物線相切，可求得x_B-x_A=，x_B+x_A=4．根據(jù)A、B在拋物線上，可求y_B-y_A，從而可求線段AB的長；
（3）設(shè)M（m，-2p），過M點的直線與拋物線聯(lián)立，利用直線與拋物線相切，可得x₁-x₂=p（k₁-k₂），y₁-y₂==，從而可得直線AB的方程，利用點到直線的距離公式求得點M到AB的距離，利用基本不等式，即可求M到直線AB的距離的最小值．
解答：解：（1）由，得y_P+2p-（y_P+）=，∴p=1，
∴拋物線方程為x²=2y．
（2）M（2，-2）在直線y=-2p上，∴-2=-2p，解得p=1，
∴拋物線方程為x²=2y，
設(shè)過M點的直線為y=k（x-2）-2，聯(lián)立：，消去y，得
即x²-2kx+4（k+1）=0（*），
∵直線與拋物線相切，∴△=0，即4k²-16（k+1）=0
∴k²-4k-4=0，∴，此時，方程（*）有等根x=k，
∴x_B=，x_A=，
∴x_B-x_A=，x_B+x_A=4．
∵A、B在拋物線上，
∴y_B-y_A=
∴|AB|=．
（3）設(shè)M（m，-2p），過M點的直線為L：y=k（x-m）-2p，聯(lián)立：，消去y，得，
∴x²-2kpx+2p（km+2p）=0①，
∵直線與拋物線相切，∴△=0
∴4k²p²-8p（km+2p）=0，∴pk²-2mk-4p=0②，此時方程①有等根x=kp，
令A(yù)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁-x₂=p（k₁-k₂），y₁-y₂==，
∴AB的斜率k′==，
由②，根據(jù)韋達定理可得，∴k′=，
∴直線AB的方程為，
∴
∴化簡可得，
∴，
由②pk²-2mk-4p=0，∴，
∴AB方程化為：2mx-2py+4p²=0，
∴點M到AB的距離d==，
當且僅當，即m²+p²=3p²，
∴時，上式等號成立，
∴M到直線AB的距離的最小值為．
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查基本不等式的運用，綜合性強．