如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線l:y=-2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A、B.
(1)設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到直線l的距離為d,F(xiàn)為焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),求拋物線方程;
(2)若M(2,-2),求線段AB的長(zhǎng);
(3)求M到直線AB的距離的最小值.

【答案】分析:(1)根據(jù),得yP+2p-(yP+)=,由此可求拋物線方程;
(2)求出拋物線方程與過(guò)M點(diǎn)的直線為y=k(x-2)-2聯(lián)立,利用直線與拋物線相切,可求得xB-xA=,xB+xA=4.根據(jù)A、B在拋物線上,可求yB-yA,從而可求線段AB的長(zhǎng);
(3)設(shè)M(m,-2p),過(guò)M點(diǎn)的直線與拋物線聯(lián)立,利用直線與拋物線相切,可得x1-x2=p(k1-k2),y1-y2==,從而可得直線AB的方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式求得點(diǎn)M到AB的距離,利用基本不等式,即可求M到直線AB的距離的最小值.
解答:解:(1)由,得yP+2p-(yP+)=,∴p=1,
∴拋物線方程為x2=2y.
(2)M(2,-2)在直線y=-2p上,∴-2=-2p,解得p=1,
∴拋物線方程為x2=2y,
設(shè)過(guò)M點(diǎn)的直線為y=k(x-2)-2,聯(lián)立:,消去y,得
即x2-2kx+4(k+1)=0(*),
∵直線與拋物線相切,∴△=0,即4k2-16(k+1)=0
∴k2-4k-4=0,∴,此時(shí),方程(*)有等根x=k,
∴xB=,xA=
∴xB-xA=,xB+xA=4.
∵A、B在拋物線上,
∴yB-yA=
∴|AB|=
(3)設(shè)M(m,-2p),過(guò)M點(diǎn)的直線為L(zhǎng):y=k(x-m)-2p,聯(lián)立:,消去y,得,
∴x2-2kpx+2p(km+2p)=0①,
∵直線與拋物線相切,∴△=0
∴4k2p2-8p(km+2p)=0,∴pk2-2mk-4p=0②,此時(shí)方程①有等根x=kp,
令A(yù)(x1,y1),B(x2,y2),則x1-x2=p(k1-k2),y1-y2==,
∴AB的斜率k′==,
由②,根據(jù)韋達(dá)定理可得,∴k′=,
∴直線AB的方程為,

∴化簡(jiǎn)可得
,
由②pk2-2mk-4p=0,∴,
∴AB方程化為:2mx-2py+4p2=0,
∴點(diǎn)M到AB的距離d==
當(dāng)且僅當(dāng),即m2+p2=3p2,
時(shí),上式等號(hào)成立,
∴M到直線AB的距離的最小值為
點(diǎn)評(píng):本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查點(diǎn)到直線的距離公式,考查基本不等式的運(yùn)用,綜合性強(qiáng).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.
(Ⅰ)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;
(Ⅱ)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,-2p)時(shí),|AB|=4
10
.求此時(shí)拋物線的方程;
(Ⅲ)是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D在拋物線x2=2py(p>0)上,其中,點(diǎn)C滿足
OC
=
OA
+
OB
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線y=-2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A,B.
(Ⅰ)求證:A,M,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;
(Ⅱ)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2p)時(shí),|AB|=4
10
,求此時(shí)拋物線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,設(shè)拋物線方程為x2=2py(p>0),M為直線l:y=-2p上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為A、B.
(1)設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到直線l的距離為d,F(xiàn)為焦點(diǎn),當(dāng)d-|PF|=
32
時(shí),求拋物線方程;
(2)若M(2,-2),求線段AB的長(zhǎng);
(3)求M到直線AB的距離的最小值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2014屆河南省許昌市五校高二下學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,設(shè)拋物線方程為,為直線上任意一點(diǎn),過(guò)引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為

(1)求證:三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

(2)已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),.求此時(shí)拋物線的方程。

 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:四川省成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)院高三2010-2011學(xué)年9月月考數(shù)學(xué)試題(理科) 題型:解答題

如圖,設(shè)拋物線方程為直線上任意一點(diǎn),過(guò)M引拋物線的切線,切點(diǎn)分別為AB。

(1)求證:AM,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;

(2)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí),,求此時(shí)拋物線的方程;

(3)是否存在點(diǎn)M,使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D在拋物線上,其中,點(diǎn)C滿足O為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在,求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案