Question

在銳角△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知向量=（2b-c，cosC），=（a，cosA），且∥，
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/3011.png' />∥，所以（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理可得：2cosAsinB=cosAsinC+sinAcosC，
即2cosAsinB=sin（A+C），∴cosA=，
∵0＜A＜π，∴A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B+C=，
所以cosB+cosC=cosB+cos（-B）=cosB-cos（-B）=cosB-cosB+sinB=sin（B+），
∵A=且△ABC為銳角三角形，∴＜B＜，即＜B+＜，
∴＜sin（B+）≤1，所以cosB+cosC的取值范圍是（，1]
分析：（Ⅰ）根據(jù)平面向量平行時(shí)滿足的條件得到一個(gè)關(guān)系式，根據(jù)正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，即可得到cosA的值，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的A的度數(shù)，利用三角形的內(nèi)角和定理得到B+C的度數(shù)，用C表示出B，代入cosB+cosC，利用誘導(dǎo)公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)A的度數(shù)和三角形為銳角三角形，即可得到B的范圍，進(jìn)而得到這個(gè)角的取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的值域即可得到cosB+cosC的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用正弦定理及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)求值，掌握平面向量平行時(shí)滿足的條件，是一道中檔題．