Question

已知點列A_n(x_n,0)，n∈N^*，其中x₁＝0，x₂＝a(a>0)，A₃是線段A₁A₂的中點，A₄是線段A₂A₃的中點，…A_n是線段A_n－2A_n－1的中點，…，

(1)寫出x_n與x_n－1、x_n－2之間的關系式(n≥3)；

(2)設a_n＝x_n＋1－x_n，計算a₁，a₂，a₃，由此推測數(shù)列{a_n}的通項公式，并加以證明．

Answer 1

由此推測a_n＝(－)^n－1a(n∈N^*)．

證法1：因為a₁＝a>0，且

a_n＝x_n＋1－x_n＝－x_n＝＝－(x_n－x_n－1)＝－a_n－1(n≥2)，

所以a_n＝(－)^n－1a.

證法2：用數(shù)學歸納法證明：

(1)當n＝1時，a₁＝x₂－x₁＝a＝(－)⁰a，公式成立．

(2)假設當n＝k時，公式成立，即a_k＝(－)^k－1a成立．那么當n＝k＋1時，

a_k＋1＝x_k＋2－x_k＋1＝－x_k＋1＝－(x_k＋1－x_k)＝－a_k＝－(－)^k－1a＝(－)^(k＋1)－1a，公式仍成立，根據(jù)(1)和(2)可知，對任意n∈N^*，公式a_n＝(－)^n－1a成立．