如圖,用半徑為R的圓鐵皮,剪一個(gè)圓心角為α的扇形,制成一個(gè)圓錐形的漏斗,問圓心角α取什么值時(shí),漏斗容積最大.(圓錐體積公式:V=
13
πr2h
,其中圓錐的底面半徑為r,高為h)
分析:設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,體積為V,求出r2+h2=R2,表示出體積表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值,得到結(jié)果.
解答:解:設(shè)圓錐的底面半徑為r,高為h,體積為V,那么r2+h2=R2,
因此,V=
1
3
πr2h

=
1
3
π(R2-h2)h
=
1
3
πR2h-
1
3
πh3(0<h<R)
.…(3分)V′=
1
3
πR2h2

令V'=0,即
1
3
πR2h2=0
,得h=
3
3
R
.…(5分)
當(dāng)0<h<
3
3
R
時(shí),V'>0.
當(dāng)
3
3
R<h<R
時(shí),V'<0.
所以,h=
3
3
R
時(shí),V取得極大值,并且這個(gè)極大值是最大值.…(8分)
h=
3
3
R
代入r2+h2=R2,得r=
6
3
R

由Ra=2πr,得a=
2
6
3
π

答:圓心角α為
2
6
3
π
弧度時(shí),漏斗容積最大.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查圓錐與扇形展開圖的關(guān)系,體積的計(jì)算,考查計(jì)算能力,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,必須注意函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系.
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(本小題滿分12分)

如圖,用半徑為R的圓鐵皮,剪一個(gè)圓心角為的扇形,制成一個(gè)圓錐形的漏斗,問圓心角取什么值時(shí),漏斗容積最大.(圓錐體積公式:,其中圓錐的底面半徑為r,高為h)

 

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如圖,用半徑為R的圓鐵皮,剪一個(gè)圓心角為α的扇形,制成一個(gè)圓錐形的漏斗,問圓心角α取什么值時(shí),漏斗容積最大.(圓錐體積公式:數(shù)學(xué)公式,其中圓錐的底面半徑為r,高為h)

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如圖,用半徑為R的圓鐵皮,剪一個(gè)圓心角為的扇形,制成一個(gè)圓錐形的漏斗,問圓心角取什么值時(shí),漏斗容積最大.(圓錐體積公式:,其中圓錐的底面半徑為r,高為h)

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