Question

（2007•長寧區(qū)一模）在直角坐標系xoy中，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的焦距為10，一條漸近線的傾斜角為arctan

3

4

．
（1）求雙曲線方程及漸近線的方程；
（2）設(shè)P為雙曲線的右頂點，過P作一條漸近線的平行線交另一條漸近線于M點，求△OPM的面積S；
（3）當P在雙曲線上運動時，試研究△OPM的面積的變化情況．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：c=5，

b

a

=

3

4

，再結(jié)合a²+b²=c²，可得a=4，b=3，即可求出雙曲線的方程與漸近線的方程；                                    
（2）由（1）可得：P（4，0），結(jié)合題意即可寫出過點P并且與一條漸近線平行的直線方程，進而求出點M的縱坐標，即可求出三角形的面積；
（3）設(shè)P（x₀，y₀），過P點作兩漸近線的平行線交兩條漸近線于M，N．則S△OPM=

1

2

SMONP，過點P作平行四邊形MONP兩條邊上的高d₁，d₂，設(shè)兩條漸近線的夾角為α，則ON=PM=

d1

sinα

，利用求平行四邊形面積的公式表達出面積，再結(jié)合P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可得出結(jié)論為：S_△OPM為定值3．

解答：解：（1）由題意可得：c=5，

b

a

=

3

4

，
∵a²+b²=c²，
∴a=4，b=3，
所以雙曲線方程為

x2

16

-

y2

9

=1．          
漸近線方程為y=±

3

4

x；                                      
（2）由（1）可得：P（4，0），過P點平行于一條漸近線的直線方程為y=-

3

4

(x-4)，
由

y=- 3 4 (x-4) y= 3 4 x

，解得y=

3

2

．
∴S△OPM=

1

2

×4×

3

2

=3．
∴△OPM的面積S為3；                               
（3）設(shè)P（x₀，y₀），過P點做兩漸近線的平行線交兩條漸近線于M，N．
則S△OPM=

1

2

SMONP，過點P作平行四邊形MONP兩條邊上的高d₁，d₂，
設(shè)兩條漸近線的夾角為α，則ON=PM=

d1

sinα

，
∴SMONP=

d1

sinα

•d2=

1

sinα

•

|3x0+4y0|

5

•

|3x0-4y0|

5

=

1

sinα

•

|9x02-16y02|

25

，
∵P（x₀，y₀）在雙曲線上，
∴9x₀²-16y₀²=9×16=144，
∵tan

α

2

=

3

4

，
∴sinα=

24

25

．
∴S△OPM=

1

2

•

25

24

•

144

25

=3．
∴當P在雙曲線上運動時，△OPM的面積不變，為定值3．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，關(guān)鍵在于借助于P的坐標．解此類面積的題目時，要注意使用整體運算的方法，以簡化計算．該題屬高考試題中的壓軸題．