已知函數(shù)

（1）當時，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）證明：對任意的 ，有.

 

【答案】

（1）①時，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；

②時，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；

③時，在是增函數(shù).

（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1）求導數(shù)得到，而后根據(jù)兩個駐點的大小比較，分以下三種情況討論.

①時，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；

②時，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；

③時，在是增函數(shù).

（2）注意到時，在是增函數(shù)

當時，有.從而得到：對任意的，有

通過構(gòu)造，并放縮得到

利用裂項相消法求和，證得不等式。涉及數(shù)列問題，往往通過“放縮、求和”轉(zhuǎn)化得到求證不等式.

試題解析：（1）      1分

①時，在（0,1）是增函數(shù)，在是減函數(shù)；        3分

②時，在（0,1），是增函數(shù)，在是減函數(shù)；      5分

③時，在是增函數(shù).      6分

（2）由（1）知時，在是增函數(shù)

當時，.

對任意的，有

                  8分

                  10分

所以

                     12分

考點：應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，應(yīng)用導數(shù)證明不等式，“裂項相消法”求和.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本題滿分12分）

已知函數(shù)。

   (1)：當時，求函數(shù)的極小值；

   (2)：試討論函數(shù)零點的個數(shù)。

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科目：高中數(shù)學 來源：2013-2014學年福建省福州市高三畢業(yè)班質(zhì)檢理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù).

（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）設(shè)的內(nèi)角的對應(yīng)邊分別為，且若向量與向量共線，求的值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆廣東省東莞市第三次月考高一數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù) 

（1）當時，求函數(shù)的最大值和最小值；

（2）求實數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)

 

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已知函數(shù).().

  （1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）若對，有成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年吉林省高三上學期第二次教學質(zhì)量檢測文科數(shù)學卷 題型：解答題

已知函數(shù)

（1）當時，求的極小值；

（2）設(shè)，求的最大值．

 

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